Các công thức xác suất cơ bản

Ngô Văn Tuân

Gà con
Staff member
Bài trước: Biến ngẫu nhiên (random variable)
1. Các ký hiệu cơ bản
  • \(X\) là một biến ngẫu nhiên;
  • \(x\) là một giá trị của biến ngẫu nhiên \(X\);
  • \(p(X=x)\) là xác suất biến ngẫu nhiên \(X\) có giá trị \(x\);
  • \(p(x)\) là viết tắt của \(p(X=x)\), là hàm mật độ xác suất hay probability density function(PDF);
  • \(p(x,y)\) là xác suất biến ngẫu nhiên \(X\) có giá trị là \(x\) và biến ngẫu nhiên \(Y\) có giá trị là \(y\);
  • \(p(x|y)\) là xác suất biến ngẫu nhiên \(X\) có giá trị là \(x\) với điều kiện biến ngẫu nhiên \(Y\) có giá trị là \(y\);
2. Tính chất của xác suất
Với xác suất, ta có tính chất: tổng xác suất của tất cả các biến cố bằng 1.
Rời rạc:
\begin{equation}
\sum_{x}^{} p (x) = 1
\end{equation}
Liên tục:
\begin{equation}
\int_{x}^{} p (x) = 1
\end{equation}

3. Xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện là xác suất một biến cố xảy ra với điều kiện đã biết có một biến cố nào đó xảy ra trước.
\begin{equation}
\begin{split}
p(x,y) &= p(x|y)p(y) = p(y|x)p(x) \\
p(x|y) &= \frac{p(x,y)}{p(y)} \\
p(y|x) &= \frac{p(x,y)}{p(x)}
\end{split}
\end{equation}

Nếu \(x\), \(y\) độc lập thì \(p(x|y) = p(x)\).

Ví dụ: Cho một hộp kín gồm 7 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Gọi
  • A là biến cố lấy lần thứ hai được bi xanh: biến ngẫu nhiên \(X\) có tên là lần thứ hai lấy bị có giá trị là bi xanh;
  • B là biến cố lấy lần thứ nhất được bi xanh: biễn ngẫu nhiên \(Y\) có tên là lần đầu lấy bi có giá trị là bi xanh;
Lấy ngẫu nhiên hai viên bi:
  • Xác suất lần thứ hai lấy được viên bi xanh là \( P(A) = \frac{7}{10} \) (có thể giải thích bằng hai cách: một là ta thấy lần thứ hai lấy cũng như lần thứ nhất lấy với điều kiện ko biết lần thứ nhất lấy được bi màu gì, hai là sử dụng quy tắc cộng xác suất có điều kiện \(P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\bar{B})P(\bar{B})\)) ;
  • Xác suất lần thứ nhất lấy được viên bi xanh là \( P(B) = \frac{7}{10} \);
  • Xác suất để cả hai lần đều lấy được bi xanh là \(P(AB) = \frac{C^2_7}{C^2_{10}} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}\);
  • Lấy ngẫu nhiên một viên bi, ta thấy đó là viên bi xanh. Lẫy ngẫu nhiên một viên bi tiếp theo, xác xuất lần thứ hai lấy được bi xanh với điều kiện lần thứ nhất lấy được bi xanh là \(P(A|B) = \frac{7-1}{10-1} = \frac{2}{3}\);
Áp dụng quy tắc nhân xác suất, ta thấy xác suất của A và B bằng xác suất của A với điều kiện B nhân với xác suất của B:
\begin{equation}
\begin{split}
P(AB) &= P(A|B)P(B)\\
\frac{7}{15} &= \frac{2}{3} \times \frac{7}{10}
\end{split}
\end{equation}
Ta có thể tính \(P(A|B)\) một cách gián tiếp:
\begin{equation}
P(A|B) = P(AB)/P(B) = \frac{C^2_7}{C^2_{10}}/\frac{7}{10} =
\frac{21}{45}/\frac{7}{10} = \frac{2}{3}
\end{equation}
Ta thấy \(P(A) = 7/10 \neq P(A|B) = 2/3\), tức là một các tổng quát, với cùng một biến cố (lần thứ hai lấy được bi xanh) thì xác suất biến cố đó xảy ra khi không biết và khi biết có một biến cố nào đó xảy ra trước (lần thứ nhất lấy được bi xanh) là khác nhau. Trong trường hợp trên, có thể thấy rằng nếu lần thứ nhất lấy được bi xanh rồi thì số lượng bị xanh giảm đi nên xác suất lần hai lấy được bi xanh cũng giảm đi.

4. Quy tắc nhân xác suất
\begin{equation}
p(xy) = p(x|y)p(y)
\end{equation}
Nếu \(x\), \(y\) độc lập thì \(p(x|y) = p(x)\), nên:
\begin{equation}
p(xy) = p(x)p(y)
\end{equation}

5. Quy tắc cộng xác suất với xác suất có điều kiện
Rời rạc:
\begin{equation}
\begin{split}
p(x) &= \sum_{y}^{} p(x|y)p(y) \\
p(x|z) &= \sum_{y}^{} p(x|y,z)p(y|z)
\end{split}
\end{equation}
Liên tục:
\begin{equation}
\begin{split}
p(x) &= \int_{y}^{} p(x|y)p(y)dy = 1 \\
p(x|z) &= \int_{y}^{} p(x|y,z)p(y|z)dy = 1
\end{split}
\end{equation}
 
Top